2016年高考數(shù)學專項練習及答案(8)

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　　一、非標準

　　1.以平面直角坐標系的原點為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,兩種坐標系中取相同的長度單位,已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),圓C的極坐標方程是ρ=4cosθ,求直線l被圓C截得的弦長.

　　2.在平面直角坐標系xOy中,若l:(t為參數(shù))過橢圓C:(φ為參數(shù))的右頂點,求常數(shù)a的值.

　　3.在極坐標系中,求圓ρ=4sinθ的圓心到直線θ=(ρR)的距離.

　　4.在極坐標系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,求曲線ρ=2sinθ與ρcosθ=-1的交點的極坐標.

　　5.(2014江蘇,21)在平面直角坐標系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l與拋物線y2=4x相交于A,B兩點,求線段AB的長.

　　6.(2014課標全國,文23)已知曲線C:=1,直線l:(t為參數(shù)).

　　(1)寫出曲線C的參數(shù)方程,直線l的普通方程;

　　(2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線,交l于點A,求|PA|的最大值與最小值.

　　7.在平面直角坐標系中,傾斜角為的直線l與曲線C:(α為參數(shù))交于A,B兩點,且|AB|=2.以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求直線l的極坐標方程.

　　8.在直角坐標平面內(nèi),以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系.曲線C的極坐標方程是ρ=4cosθ,直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),M,N分別為曲線C,直線l上的動點,求|MN|的最小值.

　　9.在以O為極點的極坐標系中,圓ρ=4sinθ和直線ρsinθ=a相交于A,B兩點,若AOB是等邊三角形,求a的值.

　　10.(2014課標全國,文23)在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,半圓C的極坐標方程為ρ=2cosθ,θ.

　　(1)求C的參數(shù)方程;

　　(2)設點D在C上,C在D處的切線與直線l:y=x+2垂直,根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程,確定D的坐標.　　1.解:由題意得直線l的方程為x-y-4=0,圓C的方程為(x-2)2+y2=4.

　　則圓心到直線的距離d=,

　　故弦長=2=2.

　　2.解:x=t,且y=t-a,消去t,得直線l的方程y=x-a.

　　又x=3cosφ且y=2sinφ,消去φ,

　　得橢圓方程=1,右頂點為(3,0),

　　依題意0=3-a,a=3.

　　3.解:將極坐標方程轉化為直角坐標方程求解.極坐標系中的圓ρ=4sinθ化為平面直角坐標系中的一般方程為x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4,其圓心為(0,2),直線θ=化為平面直角坐標系中的方程為y=x,即x-3y=0.

　　圓心(0,2)到直線x-3y=0的距離為.

　　4.解:ρ=2sinθ的直角坐標方程為x2+y2-2y=0,ρcosθ=-1的直角坐標方程為x=-1.

　　聯(lián)立方程

　　解得

　　即兩曲線的交點為(-1,1).

　　又0≤θ<2π,因此這兩條曲線的交點的極坐標為.

　　5.解:將直線l的參數(shù)方程代入拋物線方程y2=4x,

　　得=4.

　　解得t1=0,t2=-8.

　　所以AB=|t1-t2|=8.

　　6.解: (1)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).

　　直線l的普通方程為2x+y-6=0.

　　(2)曲線C上任意一點P(2cosθ,3sinθ)到l的距離為d=|4cosθ+3sinθ-6|,則|PA|=|5sin(θ+α)-6|,其中α為銳角,且tanα=.

　　當sin(θ+α)=-1時,|PA|取得最大值,最大值為.

　　當sin(θ+α)=1時,|PA|取得最小值,最小值為.

　　7.解:由題意得曲線C的方程為(x-2)2+(y-1)2=1.

　　又|AB|=2,故直線l過曲線C的圓心(2,1),則直線方程為y-1=x-2,

　　即x-y-1=0,故直線l的極坐標方程為ρ(cosθ-sinθ)=1.

　　8.解:化極坐標方程ρ=4cosθ為直角坐標方程x2+y2-4x=0,所以曲線C是以(2,0)為圓心,2為半徑的圓.

　　化參數(shù)方程 (t為參數(shù))為普通方程x-y+3=0.

　　圓心到直線l的距離d=,此時,直線與圓相離,

　　所以|MN|的最小值為-2=.

　　9.解:由ρ=4sinθ可得ρ2=4ρsinθ,

　　所以x2+y2=4y.

　　所以圓的直角坐標方程為x2+y2=4y,其圓心為C(0,2),半徑r=2;

　　由ρsinθ=a,得直線的直角坐標方程為y=a,由于AOB是等邊三角形,所以圓心C是等邊三角形OAB的中心,若設AB的中點為D(如圖).

　　則CD=CB·sin30°=2×=1,即a-2=1,所以a=3.

　　10.解:(1)C的普通方程為(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).

　　可得C的參數(shù)方程為

　　(t為參數(shù),0≤t≤π).

　　(2)設D(1+cos t,sin t).由(1)知C是以C(1,0)為圓心,1為半徑的上半圓,因為C在點D處的切線與l垂直,所以直線CD與l的斜率相同,tan t=,t=.

　　故D的直角坐標為

　　,即.

　　(責任編輯：盧雁明)

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