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2016高考數(shù)學(xué)習(xí)題及答案:直線與圓錐曲線

2016-04-06 11:56:39 來(lái)源:網(wǎng)絡(luò)

  各位考生到了緊張的復(fù)習(xí)間斷,每天都在做大量的試題,今日小編整理了一些2016年高考數(shù)學(xué)專練及答案供大家參考學(xué)習(xí):

  一、選擇題

  1.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A,AKl,垂足為K,則AKF的面積是(  )

  A.4 B.3

  C.4 D.8

  答案:C 命題立意:本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和考生的運(yùn)算能力.根據(jù)已知條件中的直線的斜率和所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)F,寫出直線方程,從而通過(guò)解方程組求出點(diǎn)A的坐標(biāo),得到三角形的底邊長(zhǎng)與高,計(jì)算出三角形的面積.

  解題思路:由題意可知,拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1,拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).直線AF的方程y=(x-1),解方程組得或因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸的上方,所以符合題意,即點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2),|AK|=3+1=4,點(diǎn)F到直線AK的距離d即為點(diǎn)A的縱坐標(biāo)2,因此SAKF=|AK|·d=4.

  2.已知雙曲線C的右焦點(diǎn)F與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)相同,若以點(diǎn)F為圓心,為半徑的圓與雙曲線C的漸近線相切,則雙曲線C的方程為(  )

  A.-x2=1 B.-y2=1

  C.-=1 D.-=1

  答案:D 解題思路:設(shè)雙曲線C的方程為-=1(a>0,b>0),而拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為(2,0),即F(2,0),

  4=a2+b2.又圓F:(x-2)2+y2=2與雙曲線C的漸近線y=±x相切,由雙曲線的對(duì)稱性可知圓心F到雙曲線的漸近線的距離為=, a2=b2=2,故雙曲線C的方程為-=1.

  3.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(nN*),其前n項(xiàng)和Sn=,則雙曲線-=1的漸近線方程為(  )

  A.y=±x B.y=±x

  C.y=±x D.y=±x

  答案:C 命題立意:本題主要考查裂項(xiàng)法求數(shù)列的前n項(xiàng)和與雙曲線的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),意在考查考生的基本運(yùn)算能力.

  解題思路:依題意得an=-,因此Sn=1-==,n=9,故雙曲線方程是-=1,該雙曲線的漸近線方程是y=± x=±x,故選C.

  4.如圖所示,F(xiàn)1,F(xiàn)2是雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,且F2AB是等邊三角形,則雙曲線的離心率為(  )

  A.+1 B.+1

  C. D.

  答案:B 命題立意:本題主要考查圓的性質(zhì)與雙曲線的性質(zhì)等知識(shí),意在考查考生的基本運(yùn)算能力.

  解題思路:連接AF1,依題意,得AF1AF2,又AF2F1=30°, |AF1|=c,|AF2|=c,因此該雙曲線的離心率e===+1,故選B.

  5.設(shè)e1,e2分別為具有公共焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2的橢圓和雙曲線的離心率,P是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn),且滿足|+|=||,則 的值為(  )

  A. B.2

  C. D.1

  答案:A 解題思路:設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,不妨設(shè)m>n.由|+|=||知,F(xiàn)1PF2=90°,則m2+n2=4c2, e1=,e2=,+==2,=.

  二、填空題

  6.若雙曲線-=1漸近線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P總在平面區(qū)域(x-m)2+y2≥16內(nèi),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.

  答案:(-∞,-5][5,+∞) 命題立意:本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),直線與圓的位置關(guān)系,考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想,考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

  解題思路:?jiǎn)栴}等價(jià)于已知雙曲線的漸近線4x±3y=0與圓相離或者相切,故實(shí)數(shù)m滿足≥4,即m≥5或m≤-5.

  7.已知雙曲線的兩條漸近線均和圓C:(x-1)2+y2=相切,且雙曲線的右焦點(diǎn)為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______.

  答案:-y2=1 命題立意:本題主要考查雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì),點(diǎn)到直線的距離公式以及基本量間的關(guān)系等.

  解題思路:由題意可知雙曲線中c=.設(shè)雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為kx-y=0,根據(jù)圓心(1,0)到該直線的距離為半徑,得k2=,即=.又a2+b2=()2,則a2=4,b2=1,所以所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為-y2=1.

  8.已知雙曲線-=1的焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)M在雙曲線上且MF1MF2,則點(diǎn)M到x軸的距離為_(kāi)_______.

  答案: 命題立意:本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì),以及點(diǎn)到直線的距離,考查考生的運(yùn)算求解能力.

  解題思路:設(shè)M(x,y),F(xiàn)1(-3,0),F(xiàn)2(3,0),則由MF1MF2,得(x+3)(x-3)+y2=0.又M在雙曲線上,故可以解方程組y2=,故點(diǎn)M到x軸的距離為.

  三、解答題

  9.已知橢圓C:+=1(a>)的右焦點(diǎn)F在圓D:(x-2)2+y2=1上,直線l:x=my+3(m≠0)交橢圓于M,N兩點(diǎn).

  (1)求橢圓C的方程;

  (2)若(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求m的值;

  (3)設(shè)點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為N1(N1與點(diǎn)M不重合),且直線N1M與x軸交于點(diǎn)P,試問(wèn)PMN的面積是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

  解析:(1)由題設(shè)知,圓D:(x-2)2+y2=1的圓心坐標(biāo)是(2,0),半徑是1,

  故圓D與x軸交于兩點(diǎn)(3,0),(1,0).

  所以在橢圓中,c=3或c=1,又b2=3,

  所以a2=12或a2=4(舍去, a>).

  于是,橢圓C的方程為+=1.

  (2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).

  直線l與橢圓C方程聯(lián)立

  化簡(jiǎn)并整理得(m2+4)y2+6my-3=0,

  y1+y2=,y1y2=.

  x1+x2=m(y1+y2)+6=.

  x1x2=m2y1y2+3m(y1+y2)+9

  =++9=.

  ⊥,·=0,

  即x1x2+y1y2=0,得=0.

  m2=,m=±.

  (3) M(x1,y1),N1(x2,-y2),

  直線N1M的方程為=.

  令y=0,則x=+x1=

  P(4,0).

  解法一:SPMN=|FP|·|y1-y2|

  =·1·

  ≤2·=1.

  當(dāng)且僅當(dāng)m2+1=3,即m=±時(shí)等號(hào)成立,

  故PMN的面積存在最大值1.

  (或SPMN=2·

  =2·.

  令t=,

  則SPMN=2·

  =2·≤1.

  當(dāng)且僅當(dāng)t=時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)m2=2,

  故PMN的面積存在最大值1.)

  解法二:|MN|=

  =4·,

  點(diǎn)P到直線l的距離為= .

  所以SPMN=··

  令t=,

  SPMN=2

  =2≤=1,

  當(dāng)且僅當(dāng)t=時(shí),此時(shí)m2=2,

  故PMN的面積存在最大值,其最大值為1.

  10.已知P(x0,y0)(x0≠±a)是雙曲線E:-=1(a>0,b>0)上一點(diǎn),M,N分別是雙曲線E的左、右頂點(diǎn),直線PM,PN的斜率之積為.

  (1)求雙曲線的離心率;

  (2)過(guò)雙曲線E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),C為雙曲線上一點(diǎn),滿足=λ+,求λ的值.

  解析:(1)點(diǎn)P(x0,y0)(x0≠±a)在雙曲線-=1上,有-=1.

  由題意有·=,可得a2=5b2,

  c2=a2+b2=6b2,則e==.

  (2)聯(lián)立得

  4x2-10cx+35b2=0.

  設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

  設(shè)=(x3,y3),=λ+,

  即

  又C為雙曲線上一點(diǎn),即x-5y=5b2,有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2,

  化簡(jiǎn)得λ2(x-5y)+(x-5y)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2.

  又A(x1,y1),B(x2,y2)在雙曲線上,

  所以x-5y=5b2,x-5y=5b2.

  由式又有x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2,

  得λ2+4λ=0,解出λ=0或λ=-4.

  11.已知拋物線C:y2=x,過(guò)點(diǎn)A(x0,0)作直線l交拋物線于點(diǎn)P,Q(點(diǎn)P在第一象限).

  (1)當(dāng)點(diǎn)A是拋物線C的焦點(diǎn),且弦長(zhǎng)|PQ|=2時(shí),求直線l的方程;

  (2)設(shè)點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M,直線PM交x軸于點(diǎn)B,且BPBQ.求證:點(diǎn)B的坐標(biāo)是(-x0,0),并求點(diǎn)B到直線l的距離d的取值范圍.

  解析:(1)由拋物線C:y2=x,得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,設(shè)直線l的方程為x=ny+,P(x1,y1),Q(x2,y2).

  由得y2-ny-=0.

  所以Δ=n2+1>0,y1+y2=n.

  因?yàn)閤1=ny1+,x2=ny2+,

  所以|PQ|=x1++x2+=x1+x2+

  =n(y1+y2)+1=2.

  所以n2=1,即n=±1.

  所以直線l的方程為x-y-=0或x+y-=0.

  即4x-4y-1=0或4x+4y-1=0.

  (2)設(shè)l:x=my+x0(m≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),

  則M(x2,-y2).

  由消去x,得y2-my-x0=0.

  因?yàn)閤0≥,所以Δ=m2+4x0>0,

  y1+y2=m,y1y2=-x0.

  解法一:設(shè)B(xB,0),則=(x2-xB,-y2),=(x1-xB,y1).

  由題意知,

  x2y1-y1xB=-x1y2+xBy2,

  即(y1+y2)xB=x1y2+x2y1=yy2+yy1=(y1+y2)y1y2.

  顯然y1+y2=m≠0, xB=y1y2=-x0,

  B(-x0,0).

  由題意知,MBQ為等腰直角三角形,

  kPB=1,即=1,也即=1,

  y1-y2=1, (y1+y2)2-4y1y2=1,

  即m2+4x0=1, m2=1-4x0>0, x0<.

  x0≥, ≤x0<.

  ∴ d的取值范圍是.

  解法二:因?yàn)橹本l:y-y1=(x-x1),

  所以令y=0,則

  x=x1-=x1-

  =x1-y+y1y2=-x0,

  B(-x0,0).

  由題意知,MBQ為等腰直角三角形,

  kPB=1,即=1,

  y1-y2=1, (y1+y2)2-4y1y2=1,

  即m2+4x0=1,

  m2=1-4x0.

  x0≥, 0

  d===

  ∴ d的取值范圍是.

  12.如圖,已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,1),平行于OM的直線l在y軸上的截距為m,直線l與橢圓相交于A,B兩個(gè)不同點(diǎn).

  (1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

  (2)證明:直線MA,MB與x軸圍成的三角形是等腰三角形.

  解析:(1)設(shè)橢圓方程為+=1(a>b>0),

  由題意得

  ∴ 橢圓方程為+=1.

  由題意可得直線l的方程為y=x+m(m≠0),

  設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

  則點(diǎn)A,B的坐標(biāo)是方程組的兩組解.

  消去y得x2+2mx+2m2-4=0.

  Δ=4m2-4(2m2-4)>0, -2

  又 m≠0, 實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-2,0)(0,2).

  (2)證明:由題意可設(shè)直線MA,MB的斜率分別為k1,k2,只需證明k1+k2=0即可,

  由(1)得x2+2mx+2m2-4=0,

  x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,

  k1+k2=+

  ==0,

 

  直線MA,MB與x軸圍成的三角形是等腰三角形

  (責(zé)任編輯:盧雁明)

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