1 計算： 1+2+22+23+…+29+210

分析 這是首項系數(shù)是2的等比數(shù)列求和問題，可采用“錯位相減法”求解．

解：設(shè)S=1+2+22+23+…+29+210 （1）

　　用2乘以上式的兩邊可得

　　2S=2+22+23+…=210+211 （2）

　　用（2）式減去（1）式的兩邊，得

　　S=（2+22+2 3+…+2 10+2 11）-（1+2+2 2+2 3+…+2 9+2 10）

　　 =2 11-1

　　 =2048-1

　　 =2047．

例2 計算：1×0.5+3×（0.5）2+5×（0.5）3+7×（0.5）4+…+17×（0.5）9+19×（0.5）10

分析 這個和式中的每一項都是兩個數(shù)的乘積，把各乘積的前一個數(shù)依次排在一起構(gòu)成一個公差為2的等差數(shù)列，把各乘積的后一個數(shù)依次排在一起構(gòu)成一個公比是0.5的等比數(shù)列，這種數(shù)列通常稱為混合數(shù)列，它的求和方法也采用“錯位相減法”．

解：設(shè)S=1×0.5+3×(0.5)2+5×(0.5)3+…+17×(0.5)9+19×(0.5)10 （1）

　　用2乘以上式的兩邊可得

　　2S＝1+3×0.5+5×（0.5）2+7×（0.5）3+…+17×（0.5）8+19×（0.5）9 （2）

　　用（2）式減去（1）式的兩邊，得

　　S=1+2×0.5+2×(0.5)2+2×(0.5)3＋…+2×(0.5)8+2×(0.5)9-19×(0.5)10

　　 =1+1+0.5+（0.5）2+…+（0.5）7+（0.5）8-19×（0.5）10

　　再設(shè) A=1+0.5+（0.5）2+…+（0.5）7+（0.5）8 （3） 
　　用2乘以（3）式的兩邊可得：

　　2A=2+1+0.5+…+（0.5）7 （4）

　　用（4）式減去（3）式兩邊，得

　　A=2-（0.5）8=2-0.00390625=1.99609375

　　于是，有：

　　S=1+1.99609375-19×（0.5）10

　　 =2.99609375-19×0.0009765625

　　 =2.99609375-0.0185546875

　　 =2.9775390625．

例3 計算：11×12×13+12×13×14+13×14×15+…+100×101×102

解：利用裂項法，有

　　11×12×13=（11×12×13×14-10×11×12×13）÷4，

　　12×13×14=（12×13×14×15-11×12×13×14）÷4，

　　13×14×15=（13×14×15×16-12×13×14×15）÷4，

　　…

　　100×101×102

　　=（100×101×102×103-99×100×101×102）÷4，

　　把這90個等式相加，得

　　原式=（100×101×102×103-10×11×12×13）÷4

　　=25×101×102×103-10×11×3×13

　　=26527650-4290