一、同余的定義：

    ①若兩個(gè)整數(shù)a 、b 除以m 的余數(shù)相同，則稱(chēng)a 、b 對(duì)于模m 同余。

    ②已知三個(gè)整數(shù)a 、b 、m ，如果m|a-b ，就稱(chēng)a 、b 對(duì)于模m 同余，記作
a ≡b （mod m ），讀作a 同余于b 模m.

    二、同余的性質(zhì)：

    ①自身性：a ≡a （mod m ）；

    ②對(duì)稱(chēng)性：若a ≡b （mod m ），則b ≡a （mod m ）；

    ③傳遞性：若a ≡b （mod m ），b ≡c （mod m ），則a ≡ c（mod m ）

    ；

    ④和差性：若a ≡b （mod m ），c ≡d （mod m ），則a+c ≡b+d （mod
m ），a-c ≡b-d （mod m ）；

    ⑤相乘性：若a ≡ b（mod m ），c ≡d （mod m ），則a ×c ≡ b×d
（mod m ）；

    ⑥乘方性：若a ≡b （mod m ），則an≡bn（mod m ）；

    ⑦同倍性：若a ≡ b（mod m ），整數(shù)c ，則a ×c ≡ b×c （mod m ×c ）

    ；

    三、關(guān)于乘方的預(yù)備知識(shí)：

    ①若A=a ×b ，則MA=Ma ×b=（Ma）b

    ②若B=c+d 則MB=Mc+d=Mc×Md

    四、被3 、9 、11除后的余數(shù)特征：

    ①一個(gè)自然數(shù)M ，n 表示M 的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和，則M ≡n （mod 9 ）或
（mod 3 ）；

    ②一個(gè)自然數(shù)M ，X 表示M 的各個(gè)奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y 表示M 的各個(gè)偶數(shù)
數(shù)位上數(shù)字的和，則M ≡Y-X 或M ≡11- （X-Y ）（mod 11）；

    五、費(fèi)爾馬小定理：

    如果p 是質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)），a 是自然數(shù)，且a 不能被p 整除，則ap-1≡1 （mod
p ）。